Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=qS_n-1+1，其中q＞0，n＞1，n∈N^*．
（1）若2a₂，a₃，a₂+2 成等差數(shù)列，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1 的離心率為e_n，且e₂=3，求e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$+…+e${\;}_{n}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)等于1、公比為q的等比數(shù)列，再根據(jù)2a₂，a₃，a₂+2成等差數(shù)列求得公比q的值，可得{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）可得a_n=q^n-1；又由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1 的離心率為e_n，且e₂=3，分析可得e₂=q=2$\sqrt{2}$，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再次由雙曲線的幾何性質(zhì)可得e_n²=1+a_n²=1+8^n-1，運(yùn)用分組求和法計(jì)算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）：∵S_n+1=qS_n+1 ①，
∴當(dāng)n≥2時，S_n=qS_n-1+1 ②，兩式相減可得a_n+1=q•a_n，
即從第二項(xiàng)開始，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q．
當(dāng)n=1時，
∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，
∴a₁+a₂=S₂=q•a₁+1，
∴a₂ =a₁•q，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q．
∵2a₂，a₃，a₂+2成等差數(shù)列，
∴2a₃ =2a₂+a₂+2，
∴2q²=2q+q+2，求得q=2，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
則a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）由（1）可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為q的等比數(shù)列，
則a_n=1×q^n-1=q^n-1；
若e₂=3，則e₂=$\sqrt{1+{a}_{2}^{2}}$=3，
解可得a₂=2$\sqrt{2}$，
則a₂=q=2$\sqrt{2}$，即q=2$\sqrt{2}$，
a_n=1×q^n-1=q^n-1=（2$\sqrt{2}$）^n-1，
則e_n²=1+a_n²=1+8^n-1，
故e₁²+e₂²+…+e_n²=n+（1+8+8²+…+8^n-1）=n+$\frac{{8}^{n}-1}{7}$

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的求和，涉及雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，注意題目中q＞0這一條件．