Question

【題目】已知函數(shù).

（I）討論極值點(diǎn)的個數(shù).

（II）若是的一個極值點(diǎn)，且，證明：.

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析

【解析】

（I） 根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個數(shù)。

（II）根據(jù)是的一個極值點(diǎn)，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明。

（I）∵，，．

∴或

1、當(dāng)，即時，

若，則，單調(diào)遞增；

若，則，單調(diào)遞減；

若，則，單調(diào)遞增；

此時，有兩個極值點(diǎn)：，．

2、當(dāng)，即時，，f（x）單調(diào)遞增，

此時無極值點(diǎn).

3、當(dāng)，即時，

若，則，單調(diào)遞增；

若，則，單調(diào)遞減；

若，則，單調(diào)遞增；

此時，有兩個極值點(diǎn)：，．

故當(dāng)時，無極值點(diǎn)：當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn).

（II）由（Ⅰ）知，，且，

∴，由（1）中3知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又（這一步是此題的關(guān)鍵點(diǎn)，觀察力）

1、當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，

此時，成立.

2、當(dāng)即時，成立.

3、當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增.

此時，成立.

綜上所述，，當(dāng)時，“=”成立.