如圖,在三棱錐P -ABC中,點(diǎn)P在平面ABC上的射影D是AC的中點(diǎn).BC ="2AC=8,AB" =
(I )證明:平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =
,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.
(I) 通過證明AC⊥BC,進(jìn)而證明BC⊥平面PAC,從而得證;
(II)
試題分析:
(Ⅰ)證明:
點(diǎn)
在平面
上的射影
是
的中點(diǎn),
PD⊥平面ABC,PD
平面PAC
平面PAC⊥平面ABC ……2分
BC=2AC=8,AB=4
,故AC⊥BC ……4分
又平面PAC
平面ABC=AC,BC
平面ABC
BC⊥平面PAC,又BC
平面PBC
平面PBC⊥平面PAC ……6分
(Ⅱ)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,8,0),P(2,0,
),
……8分
設(shè)平面PAB的法向量為
令
設(shè)平面PBC的法向量為
,
令
=0,
=1,
=-
,
……10分
二面角
的平面角的余弦值為
……12分
點(diǎn)評(píng):立體幾何問題,主要是考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解決此類問題時(shí),要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理,要將定理中要求的條件一一列舉出來,缺一不可,用空間向量解決立體幾何問題時(shí),要仔細(xì)運(yùn)算,適當(dāng)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如圖正四棱錐
的底面邊長為
,高
,點(diǎn)
在高
上,且
,記過點(diǎn)
的球的半徑為
,則函數(shù)
的大致圖像是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,邊長為4的正方形
與正三角形
所在的平面相互垂直,且
、
分別為
、
中點(diǎn).
(1)求證:
;
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知ABCD是矩形,AD=2AB,E,F(xiàn)分別是線段AB,BC的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:DF⊥平面PAF;
(Ⅱ)在棱PA上找一點(diǎn)G,使EG∥平面PFD,當(dāng)PA=AB=4時(shí),求四面體E-GFD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,在正方體
中,
,
分別是棱
,
的中點(diǎn),則
與平面
所成的角的大小是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)在三棱錐
中,
是邊長為4的正三角形,
,
,
、
分別是
、
的中點(diǎn);
(1)證明:平面
平面
;
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(滿分13分)
如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC;
(2)求證:平面ABC⊥平面APC;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題13分)如圖1,在三棱錐
P—
ABC中,
平面
ABC,
,
D為側(cè)棱
PC上一點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示。
(1)證明:
平面
PBC;
(2)求三棱錐
D—
ABC的體積;
(3)在
的平分線上確定一點(diǎn)
Q,使得
平面
ABD,并求此時(shí)
PQ的長。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
直線l與球O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面
截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和
.若二面角
的平面角為150°,則球O的表面積為
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