(2012•眉山一模)已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,
a
2
n+1
-
a
2
n
-2an+1-2an=0(n∈N*)

(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若Cn+1-Cn=an+1,且C1=1,求{Cn}的通項公式;
(Ⅲ)設(shè)bn=
an+1
2n
,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求Tn
分析:(I)要證數(shù)列{an}是等差數(shù)列,只要證明an+1-an為常數(shù),由an>0 及已知遞推關(guān)系可證
(II)由(I)知求an=2n+1,從而可得Cn+1-Cn=2n+1,故可利用迭代法Cn=(Cn-Cn-1)+(Cn-1-Cn-2)+…+(C3-C2)+(C2-C1)+C1求解
(III)由bn=
an+1
2n
=
2n+1
2n
,結(jié)合數(shù)列的通項的特點,故考慮利用錯位相減求和即可
解答:(I)證明:由已知可得:(an+1+an)(an+1-an)-2(an+1+an)=0
∴(an+1+an)(an+1-an-2)=0
∵an>0
∴an+1+an>0
∴an+1-an=2
∴數(shù)列{an}是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列(4分)
(II)解:由(I)知an=1+2(n-1)=2n-1
∴Cn+1-Cn=2n+1
當n≥2時,Cn=(Cn-Cn-1)+(Cn-1-Cn-2)+…+(C3-C2)+(C2-C1)+C1
=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1
=
n(1+2n-1)
2
=n2

當n=1時,C1=1=12適合上式
Cn=n2(8分)
(III)解:∵bn=
an+1
2n
=
2n+1
2n

∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn=
3
2
+
5
22
+…+
2n-1
2n-1
+
2n+1
2n

1
2
Tn
=
3
22
+
5
23
+…+
2n-1
2n
+
2n+1
2n+1

①-②可得,
1
2
Tn
=
3
22
+
2
23
+…+
2
2n
-
2n+1
2n+1

=
3
2
+2×
1
4
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
2n+1
2n+1
=
5
2
-
2n+5
2n+1

Tn=5-
2n+5
2n
(12分)
點評:本題主要考查了等差數(shù)列的定義法在證明等差數(shù)列中的應用,解題的關(guān)鍵是對已知遞推公式進行變形,迭代法在數(shù)列通項求解中的應用及利用錯位相減求和方法的應用,本題考查綜合數(shù)列的遞推關(guān)系、通項求解,數(shù)列求和等知識的綜合
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2xx-3
<1
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12
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