Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，前n項和s_n滿足s_n+1-s_n=2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及前n項和s_n；
（Ⅱ）若S₁、t（S₃+S₄）（t＞0）的等差中項不大于它們的等比中項，求t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析題意可知是由s_n求a_n故需利用a_n與s_n的關系：當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1來求解同時需驗證a₁=1是否也滿足上式．當a_n求出后分析它的特征然后決定采用什么方法求前n項和．
（Ⅱ）可由（1）求出S₁，t（S₃+S₄）然后利用S₁、t（S₃+S₄）（t＞0）的等差中項不大于它們的等比中項列出關于t 的關系式再求解即可．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（n-1）+1=2n-1
因為a₁=1也滿足上式，所以數列{a_n}的通項公式：a_n=2n-1（n∈N^*）
又因為a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2為定值，所以{a_n}為等差數列
所以數列{a_n}前n項和：Sn=

(a1+an)n

2

=

(1+2n-1)n

2

=n2（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 S₁=1，t（S₃+S₄）=25t
又由題意，得

1+25t

2

≤

25t

整理，得(5

t

-1)2≤0，所以(5

t

-1)2=0，則t=

1

25

．

點評：本題主要考查了利用數列前n項和s_n的遞推關系式求數列的通項．解題的關鍵是要利用a_n與s_n的關系：當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1求a_n同時需驗證a₁=1是否也符合而求出a_n后下面的問題就迎刃而解了．本題容易遺漏的是對n=1時a₁=1是否也符合的驗證！