Question

在極坐標(biāo)系中，Ox為極點(diǎn)，點(diǎn)A（2，

π

2

），B（2

2

，

π

4

）．
（Ⅰ）求經(jīng)過O，A，B的圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓D的參數(shù)方程為

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

（θ是參數(shù)，a為半徑），若圓C與圓D相切，求半徑a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（ I）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出過三點(diǎn)O，A，B的圓的普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；
（ II）把圓D的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心距|CD|，當(dāng)圓C與圓D相切（內(nèi)切或外切）時(shí)，求出a的值．

解答：解：（ I）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，
∴點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（2，2）；
過O，A，B三點(diǎn)的圓C的普通方程是
（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²-2x+y²-2y=0；
化為極坐標(biāo)方程是ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
即ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）；
（ II）圓D的參數(shù)方程

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

化為普通方程是（x+1）²+（y+1）²=a²；
圓C與圓D的圓心距|CD|=

(-1-1)2+(-1-1)2

=2

2

，
當(dāng)圓C與圓D相切時(shí)，

2

+a=2

2

，或a-

2

=2

2

，
∴a=

2

，或a=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問題，解題時(shí)可以把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程，再來解答問題，是基礎(chǔ)題．