【題目】過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AB|＝4,若原點(diǎn)O是△ABC的垂心,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．

【答案】

【解析】

由題意設(shè)直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立求出兩根之和,由拋物線的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)|AB|的表達(dá)式,再由題意可得參數(shù)的值,進(jìn)而求出直線的方程,代入拋物線的方程求出A,B的坐標(biāo),由O為三角形ABC的垂心可得C在x軸上,設(shè)C的坐標(biāo),由OA⊥BC,可得數(shù)量積為0,求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：顯然直線AB的斜率不為0,

由題意設(shè)直線AB的方程為：x＝my+1,設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）,

聯(lián)立直線AB與拋物線的方程,

整理可得y2﹣4my﹣4＝0,y1+y2＝4m,所以x1+x2＝4m2+2,

由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4,

由題意可得4m2+4＝4,所以m＝0,即直線AB垂直于x軸,

所以可得A（1,2）,B（1,﹣2）,

因?yàn)樵c(diǎn)O是△ABC的垂心,所以C在x軸上,設(shè)C（a,0）,可得AO⊥BC,即0

即（1,2）（1﹣a,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a﹣4＝0,解得a＝﹣3,

所以C的坐標(biāo)為：,

故答案為：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面底面.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的極值；

（2）證明：時(shí)，

（3）若函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，設(shè)且的最大值是，證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于數(shù)列，若存在，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列為“折疊數(shù)列”.

（1）若，，判斷數(shù)列，是否是“ 折疊數(shù)列”，如果是，指出m的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（2）若，求所有的實(shí)數(shù)q，使得數(shù)列是3-折疊數(shù)列；

（3）給定常數(shù)，是否存在數(shù)列使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的值，證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2,過點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出曲線C1和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C1的切線，切點(diǎn)為A，求|PA|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（α為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換得到曲線，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離d的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的側(cè)棱與四棱錐的側(cè)棱都與底面垂直，，，，，，.

（1）證明：平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面所成角的正弦值為？如果存在，指出M點(diǎn)的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.

若，.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若，求正整數(shù)的值；

若，，對(duì)任意給定的，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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