Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足條件以下條件：f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求證：f（8）=3．
（2）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1⇒f（8）=3f（2），從而可證f（8）=3；
（2）由f（8）=3，f（x）＞3+f（x-2）⇒f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，即可求得不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

解答： （1）證明：由題意得
f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（8）=3；                                               
（2）∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

8x-16＞0 x＞8x-16

，
解得：2＜x＜

16

7

，
∴不等式的解集是{x|2＜x＜

16

7

 }．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查遞推關(guān)系與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．