Question

10．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，A，B分別為C與x軸，y軸的交點．
（1）寫出C的直角坐標方程，并求A，B的極坐標；
（2）設M為曲線C上的一個動點，$\overrightarrow{OQ}$=λ•$\overrightarrow{OM}$（λ＞0），|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|=2，求動點Q的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，展開為$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=1，利用互化公式可得直線C的直角坐標方程，分別取θ=0，θ=$\frac{π}{2}$時，計算出ρ，即可得出直角坐標．
（2）由條件可設Q（ρ，θ）$M（{ρ_1}{，^{\;}}θ）$，由已知可得ρ•ρ₁=2，${ρ}_{1}cos（θ-\frac{π}{3}）$=2，聯(lián)立解出ρj即可得出方程．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，展開為$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=1，可得直線C的直角坐標方程為$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=1，即x+$\sqrt{3}$y=2．
當θ=0時，ρ=2，∴A（2，0）；
當θ=$\frac{π}{2}$時，ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴B$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{π}{2}）$．
（2）由條件可設Q（ρ，θ），$M（{ρ_1}{，^{\;}}θ）$，
由條件$⇒\left\{\begin{array}{l}ρ•{ρ_1}=2\\{ρ_1}cos（θ-\frac{π}{3}）=2\end{array}\right.⇒ρ=2cos（θ-\frac{π}{3}）$為所求Q的極坐標方程．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程互化、極坐標方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．