Question

如圖，已知過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-a，0）作直線1交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且

PQ

=2

QA

，則橢圓的離心率為

2 5

5

．

Answer 1

分析：利用等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運(yùn)算即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再代入橢圓方程即可．

解答：解：∵△AOP是等腰三角形，A（-a，0）∴P（0，a）．
設(shè)Q（x₀，y₀），∵

PQ

=2

QA

，∴（x₀，y₀-a）=2（-a-x₀，-y₀）．
∴

x0=-2a-2x0 y0-a=-2y0

，解得

x0=- 2 3 a y0= 1 3 a

．
代入橢圓方程得

4 9 a2

a2

+

1 9 a2

b2

=1，化為

b2

a2

=

1

5

．
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2 5

5

．
故答案為

2 5

5

．

點(diǎn)評：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運(yùn)算、“代點(diǎn)法”等是解題的關(guān)鍵．