Question

已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間[a，3a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）求a的值；
（2）若1≤x≤3，求函數(shù)y=（log_ax）²-log_a

x

+2的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由lo

g

3 a

＞lo

g

2 a

，可得a＞1，再根據(jù)log_a3a-log_aa=1，求得a的值．
（2）先求得0≤log₃x≤1，根據(jù)為y=(log3x)2-

1

2

log3x+2=(log3x-

1

4

)2+

31

16

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域．

解答： 解：（1）∵lo

g

3 a

＞lo

g

2 a

，
∴a＞1．
又∵y=log_ax在[a，3a]上為增函數(shù)，
∴l(xiāng)og_a3a-log_aa=1，
即log_a3=1，∴a=3．
（2）∵1≤x≤3，
∴0≤log₃x≤1，
由于函數(shù)y=(log3x)2-log3

x

+2可化為y=(log3x)2-

1

2

log3x+2=(log3x-

1

4

)2+

31

16

，
故當(dāng)log₃x=

1

4

時(shí)，函數(shù)y取得最小值為

31

16

，
當(dāng) log₃x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為

5

2

，
∴所求函數(shù)的值域?yàn)?span id="cqmmig4" class="MathJye">[

31

16

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．