Question

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)f(x)=

2x-k

x2+1

的定義域?yàn)閇a，b]．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3m2x+

3

5

 (-

1

2

≤x≤

1

2

， 0＜m＜

1

2

)，若對(duì)任意的x1∈[-

1

2

，

1

2

]，總存在x2∈[-

1

2

，

1

2

]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）確定函數(shù)在其定義域[a，b]上，導(dǎo)數(shù)為正，即可得到結(jié)論；
（3）由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集，分別確定g（x）的值域、f（x）值域，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：（1）解：當(dāng)k=0時(shí)，4x²-1=0，∴x=±

1

2

，∴f(x)=

2x

x2+1

，x∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴

f′(x)= 2(1-x2) (x2+1)2 ＞0

，
∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

4

5

，

4

5

]；
（2）證明：求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=2

-x2+kx+1

(x2+1)2

∵a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根
∴拋物線y=-x2+kx+

1

4

開口向下，兩根之內(nèi)的函數(shù)值必為正值
∵當(dāng)x∈[a，b]，-x2+kx+

1

4

≥0，∴-x²+kx+1＞0，
∴f′(x)=2

-x2+kx+1

(x2+1)2

＞0．
∴函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）解：由題意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集．
由（1）知，f（x）的值域是[-

4

5

，

4

5

]，g'（x）=3x²-3m²，g'（x）=0⇒x=±m(xù)

x	- 1 2	(- 1 2 ，-m)	-m	（-m，m）	m	(m， 1 2 )	1 2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	g(- 1 2 )	遞增	極大值g（-m）	遞減	極小值g（m）	遞增	g( 1 2 )

顯然

g( 1 2 )≤ 4 5 g(- 1 2 )≥- 4 5

，
∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集，只需

g(-m)≤ 4 5 g(m)≥- 4 5

，解得：0＜m≤

3	1 10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．