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 設函數,且,其中是自然對數的底數.

(1)求的關系;

(2)若在其定義域內為單調函數,求的取值范圍;

(3)設,若在上至少存在一點,使得成立,求實數的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(1)由題意得   …………1分

                               

,所以的關系為              …………3分

(2)由(1)知,

                       …………4分

   令,要使在其定義域內是單調函數,只需內滿足:恒成立.        …………5分

①當時,,因為,所以<0,<0,

  ∴內是單調遞減函數,即適合題意;…………6分

②當>0時,,其圖像為開口向上的拋物線,對稱軸為,∴,只需,即,

內為單調遞增函數,故適合題意.   …………7分

③當<0時,,其圖像為開口向下的拋物線,對稱軸為,只要,即時,恒成立,故<0適合題意.                     

綜上所述,的取值范圍為.       ……………………9分

(3)∵上是減函數,

 ∴時,;時,,即,…10分

①當時,由(2)知上遞減<2,不合題意;…………11分  

②當0<<1時,由,

又由(2)知當時,上是增函數,

 ∴,不合題意;……………12分                                             

③當時,由(2)知上是增函數,<2,又上是減函數,

故只需   ,而,

>2,      解得 ,

綜上,的取值范圍是.                  ……………………14分

練習冊系列答案
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設函數,且,其中是自然對數的底數.

   (1)求的關系; (2)若在其定義域內為單調函數,求的取值范圍;   (3)設,若在上至少存在一點,使得成立,求實數的取值范圍.

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(2)若在其定義域內為單調函數,求的取值范圍;

(3)設,若在上至少存在一點,使得成立,求實數

取值范圍.

 

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       設函數,且,其中是自然對數的底數.

   (I)求的關系;

   (II)若在其定義域內為單調函數,求的取值范圍

 

 

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