Question

已知數列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），如果對任意n∈N^*，都有b_n+t≤t²，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①可得2a_n+1-a_n=1 …..（3分）
即：a_n+1-1=（a_n-1），又a₁-1=-…..（5分）
所以數列{a_n-1是以-為首項，以為公比的等比數列…．…..（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a_n=1-，…（7分）
∴b_n=（2-n）（a_n-1）=…（8分）
由b_n+1-b_n=-=＞0可得n＜3
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3 …（9分）
所以b₁＜b₂＜b₃=b₄，b₄＞b₅＞…＞b_n＞…
故b_n有最大值b₃=b₄=
所以，對任意n∈N^*，都有b_n+t≤t²，等價于對任意n∈N^*，都有≤t²-t成立…（13分）
所以t²-t-≥0
解得t≥或t≤-
所以，實數t的取值范圍是（-∞，]∪[，+∞） …（14分）
分析：（Ⅰ）利用a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，再寫一式，兩式相減，整理可得數列{a_n-1是以-為首項，以為公比的等比數列；（Ⅱ）先確定b_n=（2-n）（a_n-1）=，再利用b_n+1-b_n，確定b_n有最大值b₃=b₄=，從而對任意n∈N^*，都有b_n+t≤t²，等價于對任意n∈N^*，都有≤t²-t成立，由此可求實數t的取值范圍．
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查恒成立問題，確定數列的通項，求出數列的最大值是解題的關鍵．