Question

判斷下列說法正確的是

 

．
①在直線y=xtanα+3中，斜率k=tanα，α為傾斜角
②過點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂）所有直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）
③a，b為異面直線，與a，b都相交的兩條直線l₁，l₂不可能相交．
④y=

x2-8x+20

+

x2+1

的最小值為5．
⑤P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若點(diǎn)P到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等，則P點(diǎn)的射影為△ABC的外心．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：①，在直線y=xtanα+3中，斜率k=tanα，α不一定為傾斜角，可判斷①；
②，分l⊥x軸與l不與x軸垂直兩類討論，可得過點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂）所有直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁），可判斷②；
③，利用反證法可證得與異面直線a，b都相交的兩條直線l₁，l₂不可能相交，可判斷③
④，利用y=

x2-8x+20

+

x2+1

的幾何意義，可判斷④．
⑤，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若點(diǎn)P到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等⇒P點(diǎn)的射影O到△ABC的各頂點(diǎn)的距離相等，可判斷⑤．

解答： 解：對于①，在直線y=xtanα+3中，斜率k=tanα，α為傾斜角，①正確；
對于②，過點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂）的直線l的方程：
當(dāng)l⊥x軸時，x=x₁=x₂，滿足（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）；
當(dāng)l不與x軸垂直時，l的方程為：y-y₁=

y2-y1

x2-x1

（x-x₁），滿足（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）；
所以，所有直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁），即②正確；
對于③，a，b為異面直線，與a，b都相交的兩條直線l₁，l₂不可能相交，③正確，
理由如下：假設(shè)l₁，l₂相交，則l₁，l₂共面，于是可得直線a與直線b共面，與a，b為異面直線矛盾，故直線l₁，l₂不可能相交；
對于④，y=

x2-8x+20

+

x2+1

的幾何意義為：數(shù)軸上的點(diǎn)A（x，0）到點(diǎn)M（4，2）與N點(diǎn)（0，1）的距離之和，

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N′，則|MA|+|AN|=|MA|+|AN′|≥|MN′|（當(dāng)且僅當(dāng)M、A、N′三點(diǎn)共線時取“=”），
即y=

x2-8x+20

+

x2+1

≥|MN′|=

42+(2-(-1))2

=5，其最小值為5，④正確．
對于⑤，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若點(diǎn)P到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等，則P點(diǎn)的射影O到△ABC的各頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為△ABC的外心，⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查直線的方程、空間直線的位置關(guān)系、函數(shù)表達(dá)式的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．