Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD

（1）證明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°

同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°

∴DC1⊥DC，DC1⊥BD

∵DC∩BD=D

∴DC1⊥面BCD

∵BC面BCD

∴DC1⊥BC

（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，

∵AC面ACC1A1，∴BC⊥AC

取A1B1的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C1O，OH

∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，

∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，

∴C1O⊥面A1BD

而B(niǎo)D面A1BD

∴BD⊥C1O，

∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，

∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角

設(shè)AC=a，則 ， ，

∴sin∠C1DO=

∴∠C1DO=30°

即二面角A1﹣BD﹣C1的大小為30°

【解析】（1）證明DC1⊥BC，只需證明DC1⊥面BCD，即證明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）證明BC⊥面ACC1A1 ， 可得BC⊥AC取A1B1的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C1O，C1H，可得點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大�。�
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．