Question

16．已知a、b為正實數(shù)，且$\frac{1}{a}+\frac{2}$=2，若a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，則c的取值范圍為$（-∞，\frac{3+2\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，可得c≤（a+b）_min=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a、b為正實數(shù)，且$\frac{1}{a}+\frac{2}$=2，
∴a+b=$\frac{1}{2}$（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}）$=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$）≥$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{\frac{a}×\frac{2a}}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當b=$\sqrt{2}$a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，
∴c≤（a+b）_min=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
∴c的取值范圍為$（-∞，\frac{3+2\sqrt{2}}{2}]$．
故答案為：$（-∞，\frac{3+2\sqrt{2}}{2}]$．

點評 本題考查了基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．