Question

某高校在2014年考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示，

（1）分別求第3，4，5組的頻率；
（2）若該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，
①已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績均在第三組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙不同時進(jìn)入第二輪面試的概率；
②若第三組被抽中的學(xué)生實(shí)力相當(dāng)，在第二輪面試中獲得優(yōu)秀的概率均為

3

4

，設(shè)第三組中被抽中的學(xué)生有X名獲得優(yōu)秀，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖能求出第3，4，5組的頻率．
（2）①先求出學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進(jìn)入第二輪面試的概率，再由對立事件概率計算公式能求出學(xué)生甲和學(xué)生乙不同時進(jìn)入第二輪面試的概率．
②由已知得X～B(3，

3

4

)，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）第三組的頻率為0.06×5=0.3，
第四組的頻率為0.04×5=0.2，
第五組的頻率為0.02×5=0.1．…3 分
（2）①設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進(jìn)入第二輪面試為事件M：則P（M）=

C   1 28

C 3 30

=

1

145

所以學(xué)生甲和學(xué)生乙不同時進(jìn)入第二輪面試的概率P（

.

M

）=1-

1

145

=

144

145

．…8 分
②由已知得X～B(3，

3

4

)，且P(X=k)=

C

k 3

(

3

4

)k(

1

4

)3-k，k=0，1，2，3，
∴X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

X的數(shù)學(xué)期望EX=np=3×

3

4

=

9

4

…13 分

點(diǎn)評：本題考查頻率分布直方圖的求法，考查概率的計算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意二項分布的合理運(yùn)用．