已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B(0,4),離心率
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若O(0,0)、P(2,2),試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q(平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)),使得△OPQ的面積S△OPQ=4?若存在,請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).
【答案】分析:(I)根據(jù)橢圓的端點(diǎn)坐標(biāo)與離心率,求出a、b,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(II)根據(jù)三角形的面積,Q點(diǎn)應(yīng)在與OP平行的直線上,利用直線與橢圓方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件,再分析求滿足條件的整數(shù)點(diǎn).
解答:解:(I)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),
根據(jù)題意b=4,=,∵a2=b2+c2
∴a=5,c=3
∴橢圓的方程是+=1
(II)|OP|=2,直線OP的方程是y=x,
設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=x+m,
∵S△OPQ=4,∴d==2⇒m=±4
∴Q點(diǎn)在直線 y=x±4上,
當(dāng)m=4時(shí),⇒41x2+200x<0⇒-<x<0,
∵x∈Z,∴x=-4,-3,-2,-1分別對應(yīng)有四個(gè)整數(shù)點(diǎn);
當(dāng)m=-4時(shí),由對稱性,同理滿足條件的點(diǎn)Q也有四個(gè),
綜上,存在滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有8個(gè).
點(diǎn)評:本題借助存在性問題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.存在性問題的解題思路是:假設(shè)存在,根據(jù)條件求解,若解出,說明存在;若得出矛盾或解不出,則說明不存在.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟(jì)寧市2012屆高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題

(本小題滿分14分) 已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓,它的中心在原

點(diǎn),左焦

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若P是橢圓上的動點(diǎn),求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;

(3)過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C,求△ABC面積的最大值。

 

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。

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