Question

【題目】已知在多面體中，，，，，且平面平面.

（1）設(shè)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，試證明平面；

（2）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結(jié)合平面，即可證明平面；

（2）由空間向量的應(yīng)用，建立以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸的空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

∵在中，∴.

∴由平面平面，且交線(xiàn)為得平面.

∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且.

又，，∴，且.

∴四邊形為平行四邊形.∴，

∴平面.

（2）∵平面，，

∴以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.

∵平面，∴直線(xiàn)與平面所成的角為.

∴.∴.

可取平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，則，.∴，

∴，

∴二面角的余弦值為.