18．矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，若向量$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BE}+y\overrightarrow{BF}$，則x+y=$\frac{7}{5}$．

分析 以B為坐標原點建立坐標系，求出各個向量的坐標，進而構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組，解得答案．

解答 解：以B為坐標原點建立如下圖所示的坐標系：

∵|AB|=4，|BC|=3，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=（4，1），$\overrightarrow{BF}$=（2，3），$\overrightarrow{BD}$=（4，3），
∵$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BE}+y\overrightarrow{BF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}4=4x+2y\\ 3=x+3y\end{array}\right.$，
兩式相加得：5（x+y）=7，
故x+y=$\frac{7}{5}$，
故答案為：$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查的知識點是向量在幾何中的應(yīng)用，向量共線的充要條件，難度中檔．

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兩邊同時積分得：
${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$1dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$x2dx+…+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xndx+…=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{1-x}$dx
從而得到如下等式：1×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$）2+$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）3+…+$\frac{1}{n+1}$×（$\frac{1}{3}$）n+1+…=ln3-ln2．
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，計算：
Cn0×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$Cn1×（$\frac{1}{3}$）2+$\frac{1}{3}$Cn2×（$\frac{1}{3}$）3+…+$\frac{1}{n+1}$Cnn×（$\frac{1}{3}$）n+1=$\frac{1}{n+1}$$[（\frac{4}{3}）^{n+1}-1]$．

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