Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)；

（2）設(shè)為正整數(shù)，若不等式在內(nèi)恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，分別求出使和的的取值范圍，從而使命題得證；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立，令，得，又因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以或2，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，設(shè)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性并求在上的最小值，只需求得即可求得的最大值2.

證明：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，

設(shè)，則.

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，

，

所以存在，使，對(duì)于，都有，對(duì)于，都有.

②當(dāng)時(shí)，.

綜上可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng).

因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的極值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于

對(duì)恒成立，

令，得，又因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以或2，

當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

設(shè)，則.

設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，即.

令，得，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，因此，當(dāng)時(shí)，恒成立.

也就是說當(dāng)時(shí)，不等式在內(nèi)恒成立.

故的最大值為2.