Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象相交于一點P（t，0），且t≠0兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線．
（1）當(dāng)t=1時，求a，b，c．
（2）若函數(shù)y=g（x）-f（x）在（-1，3）上單調(diào)遞增，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0進而得到3+a=2b，且1+a=0，b+c=0，解之可得a，b，c的答案．             
（2）由題意得a=-t²，b=t，c=-t³，所以y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³，所以y′=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）．由題意得函數(shù)y=f（x）-g（x）在（-1，3）上單調(diào)遞減，所以y′≤0在（-1，3）上恒成立．所以y′|_x=-1≤0且y′|_x=3≤0，即可解出答案t≥3或t≤-9．

解答：解：（1）由已知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0
∴3+a=2b，且1+a=0，b+c=0          
得：a=-1，b=1，c=-1．            
（2）由題意得f（t）=t³+at=0，g（t）=bt²+c=0，且f′（t）=g′（t），
所以a=-t²，b=t，c=-t³
所以y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³
所以y′=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）
因為y=g（x）-f（x）在（-1，3）上單調(diào)遞增
所以函數(shù)y=f（x）-g（x）在（-1，3）上單調(diào)遞減，
因為y′=3x²-2tx-t²開口向上，
∴y′|_x=-1≤0且y′|_x=3≤0；即3+2t-t²≤0，27-6t-t²≤0
所以：t≥3或t≤-9．
所以t的取值范圍t≥3或t≤-9．

點評：本題注意考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及正確的進行導(dǎo)數(shù)運算．