【題目】如圖，在三棱錐中，頂點在底面上的射影在棱上，，，，為的中點。

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）已知是平面內(nèi)一點，點為中點，且平面，求線段的長。

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量，利用法向量計算余弦值即可；

(Ⅲ)利用空間向量求得點Q的坐標，然后結(jié)合點P的坐標可得線段的長.

（Ⅰ）∵頂點在底面上的射影在棱上，

∴平面平面，

∵，∴，

∵平面平面，∴平面，面，∴，

由，，得，∴，

∵，∴平面．

（Ⅱ）連結(jié)，分別以、、為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，

，，，，，，

，，，

設(shè)為平面的一個法向量，則，

取，得，

，，

設(shè)平面的法向量，則，

取，則，

設(shè)二面角的平面角為，則．

∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設(shè)，，

因為平面，所以

所以，，所以．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是等差數(shù)列，滿足， ，數(shù)列滿足， ，且是等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】鳳鳴山中學的高中女生體重 (單位：kg)與身高(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（），用最小二乘法近似得到回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A.與具有正線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本的中心點

C.若該中學某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg

D.若該中學某高中女生身高為160cm，則可斷定其體重必為50.29kg.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某機構(gòu)組織語文、數(shù)學學科能力競賽，按照一定比例淘汰后，頒發(fā)一二三等獎.現(xiàn)有某考場的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中數(shù)學科目成績?yōu)槎泉劦目忌?/span>人.

（Ⅰ）求該考場考生中語文成績?yōu)橐坏泉劦娜藬?shù)；

（Ⅱ）用隨機抽樣的方法從獲得數(shù)學和語文二等獎的學生中各抽取人，進行綜合素質(zhì)測試，將他們的綜合得分繪成莖葉圖，求樣本的平均數(shù)及方差并進行比較分析；

（Ⅲ）已知本考場的所有考生中，恰有人兩科成績均為一等獎，在至少一科成績?yōu)橐坏泉劦目忌�，隨機抽取人進行訪談，求兩人兩科成績均為一等獎的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知、是異面直線，給出下列結(jié)論：

①一定存在平面，使直線平面，直線平面；

②一定存在平面，使直線平面，直線平面；

③一定存在無數(shù)個平面，使直線與平面交于一個定點，且直線平面．

則所有正確結(jié)論的序號為（ ）

A.①②B.②C.②③D.③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，且長軸長為4．

求橢圓E的方程；

若A是橢圓E的左頂點，經(jīng)過左焦點F的直線l與橢圓E交于C，D兩點，求與為坐標原點的面積之差絕對值的最大值．

已知橢圓E上點處的切線方程為，T為切點若P是直線上任意一點，從P向橢圓E作切線，切點分別為N，M，求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點為，右焦點為，過作垂直于軸的直線交該橢圓于，兩點，直線的斜率為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若的外接圓在處的切線與橢圓交另一點于，且的面積為，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于，兩點.

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）若點的極坐標為，，求的值.

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同步練習冊答案