Question

4．點P（x，y）的坐標滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+2y+4≥0\\ 7x+2y-8≤0\end{array}\right.$，由點P向圓C：（x+2）²+（y-1）²=1作切線PA，切點為A，則線段|PA|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{55}}}{5}$
• C． $\sqrt{19}$
• D． $\frac{{\sqrt{33}}}{2}$

Answer 1

分析 畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+2y+4≥0\\ 7x+2y-8≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，根據(jù)題意過圓心C作直線x-2y=0的垂線，垂足為P，則線段|PA|的值即為所求．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+2y+4≥0\\ 7x+2y-8≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為△ABC所圍成的區(qū)域（包含邊界）：

由點P向圓C：（x+2）²+（y-1）²=1作切線PA，
切點為A，連接AC，則|AC|=r=1；
過圓心C作直線x-2y=0的垂線，垂足為P，
則|PC|=$\frac{|-2-2×1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-2）}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$；
∴線段|PA|的最小值為
$\sqrt{{|PC|}^{2}{-r}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{4}{\sqrt{5}}）}^{2}{-1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{55}}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的應用問題，也考查了數(shù)形結合的應用問題，是綜合題．