設y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的減函數(shù)，則y＝f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函數(shù)，則y＝f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相同．

 

答案：
解析：

證明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函數(shù)，任取a＜x1＜x2＜b，則有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是減函數(shù)得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是減函數(shù)．若g(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同理可證f[g(x)]在(a，b)上是增函數(shù)．

  (2) 若g(x)在(a，b)上是增函數(shù)，任取a＜x1＜x2＜b，則有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函數(shù)，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函數(shù)．若g(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同理可證f[g(x)]在(a，b)上是減函數(shù)．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

設y＝f（x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

（i)f（－1)＝f（1)＝0；

（ii)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|≤|u－v|．

（Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f（x)≤1－x；

（Ⅱ)判斷函數(shù)g（x)＝是否滿足題設條件；

（Ⅲ)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y＝f（x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

設y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的減函數(shù)，則y＝f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函數(shù)，則y＝f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相同．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：新課標教材全解高中數(shù)學人教A版必修1 人教A版 題型：044

設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：047

設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件；

(i)f(－1)＝f(1)＝0；

(ii)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]都有x－1≤f(x)≤1－x；

(Ⅱ)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1；

(Ⅲ)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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