Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{2a-b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$．
（1）求角C的值；
（2）若c=7，△ABC的面積為$10\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積與sinC的值代入求出ab的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，整理即可求出a+b的值．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化為$\frac{2sinA-sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
整理得：2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=10$\sqrt{3}$，得ab=40，
∵cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=（a+b）²-3×40，
∴49=（a+b）²-3×40，即（a+b）²=169，
開方得：a+b=13．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．