Question

【題目】已知橢圓C的方程為 + =1（a＞b＞0），雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點(diǎn)F的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，記△AOF的面積為S1 ， △BOF的面積為S2 ， 當(dāng)S1=2S2時(shí)，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則 =tan30°= ，即a2=3b2，

由2c=4 ．c=2 ，則a2+b2=8，

解得：a2=8，b2=2，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）解：由（1）可知：F（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由S1=2S2時(shí)，則y1=﹣2y2時(shí)，解得：t2= ，

將t2= ，代入y1y2=﹣ ，

x1x2=（ty1+2）（ty2+2）=t2y1y2+2t（y1+y2）+4，

= ，

由 =x1x2+y1y2= ﹣ = ，得：

=

【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程及斜率公式，即可求得a2=3b2，c=2 ，即a2+b2=8，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及y1=﹣2y2，即可求得t的值，分別求得y1y2，x1x2，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得 的值．