設F1、F2分別是橢圓C:+=1(a＞b＞0)的左、右焦點,l為左準線,A1、A2分別為其長軸的左、右端點.

(1)若橢圓上的點M(1,)到F1、F2的距離之和為4,求橢圓方程;

(2)有一個猜想:“設P(x1,y1)、Q(x2,y2)(y1y2≠0)是橢圓C上的任意兩點，若P、F1、Q三點共線,則直線PA1、QA2、l共點.”你認為這個猜想能成立嗎？請說明理由.

解：(1)由已知得,

2a=|MF1|+|MF2|=4,

∴a=2.又M在橢圓上,

∴+=1.

∴b=.

∴橢圓方程為+=1.

(2)由已知,A1(-a,0)、A2(a,0)、F1(-c,0),直線PA1的方程為y=(x+a),

    直線QA2的方程為y=(x-a).

    設直線PA1與l交于點P′(-,yP′);直線QA2與直線l交于Q′(-,yQ′).

yP′=(-+a),

yQ′=(--a).

    要證PA1、QA2、l共點,只需證yP′=yQ′.

∵P、F1、Q三點共線,

∴=.

∴c=.                                                                   ①

    由yP′=yQ′(-+a)=(--a)=,

    將①代入得yP′=yQ′.                                ②

    又∵點P、Q在橢圓C上,

∴

∴

    兩式相比得,

∴②恒成立.

∴恒有yP′=yQ′.

∴直線PA1、QA2、l恒共點.


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦點．
（1）當P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8時，求橢圓C的左，右焦點F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q的作⊙F2切線QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓上一點P(1，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設F1、F2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左、右焦點．
（I）當p∈C，且
pF1
•
pF
2=0，|
pF1
|•|
pF
2|=4時，求橢圓C的左、右焦點F1、F2的坐標．
（II）F1、F2是（I）中的橢圓的左、右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q作的切線QM（M為切點），使得|QF1|=
2
|QM|，求動點Q的軌跡．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點，若橢圓C上存在點P，使線段PF1的垂直平分線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設橢圓C上的點(
2
2
，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
，寫出橢圓C的方程；
（2）設過（1）中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積；
（3）設點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPN，kPN試探究kPN•kPN的值是否與點P及直線l有關，并證明你的結(jié)論．

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