Question

4．已知定點A（12，0），M為曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=6+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}$上的動點．
（1）若點P滿足條件$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$，試求動點P的軌跡C的方程；
（2）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，若直線：ρcosθ+ρsinθ=a與曲線C相交于不同的E、F兩點，O為坐標(biāo)原點且$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=12，求∠EOF的余弦值和實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$，得到P的參數(shù)方程，即可得出動點P的軌跡C的方程；
（2）利用向量數(shù)量積公式求∠EOF的余弦值；求出圓心到直線的距離，即可求出實數(shù)a的值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$，
∴（x-12，y）=2（-6+2cosθ，2sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$，即x²+y²=16；
（2）直線：ρcosθ+ρsinθ=a可化為x+y-a=0，
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=12，
∴4•4•cos∠EOF=12，
∴cos∠EOF=$\frac{3}{4}$，
∴cos$\frac{1}{2}$∠EOF=$\sqrt{\frac{1+cos∠EOF}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴圓心到直線的距離d=4cos$\frac{1}{2}$∠EOF=$\sqrt{14}$=$\frac{|-a|}{\sqrt{2}}$，
∴a=±2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．