Question

【題目】如圖1，在四邊形中，，，，，，是上的點，，為的中點．將沿折起到的位置，使得，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）點在線段上，當直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）計算出、、的長，利用勾股定理證明出，，利用線面垂直的判定定理可證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；

（2）以點為坐標原點，、所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系，設點，求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法結合線面角的正弦值可求得的值，然后利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）因為，，所以.

又，所以，．

在中，，，，，所以．

在中，，，，所以，所以．

因為平面，平面，，所以平面．

又平面，所以平面平面；

（2）以點為坐標原點，、所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則、、，設，其中，

則，，．

設平面的一個法向量為，

由，得，

令，則，，所以，

所以，

化簡得，解得或（舍），

所以，．

設平面的一個法向量為，

由，得，

令，則，，所以，

所以．

由圖可知二面角為銳二面角，

所以當直線與平面所成角的正弦值為時，二面角的余弦值為．