Question

16．過點P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右支上，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，PF₁的垂直平分線過F₂，且原點到直線PF₁的距離恰好等于雙曲線的實半軸長，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，進而求出離心率．

解答 解：依題意過點P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右支上，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，PF₁的垂直平分線過F₂，且原點到直線PF₁的距離恰好等于雙曲線的實半軸長，可得|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個等腰三角形，F(xiàn)₂在直線PF₁的投影是其中點，
由勾股定理可知|PF₁|=4b
根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點評 本題主要考查三角與雙曲線的相關(guān)知識點，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．