已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.
分析:( I)由題意可得到:c=1,a=2,b=
3
從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)設(shè)P(x0,y0)利用向量的數(shù)量積即可墳得
PF1
PA
,再結(jié)合橢圓方程得-2≤x≤2,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得
PF1
PA
的取值范圍;
(III)先將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積公式即可求得m值,從而解決問題.
解答:解:( I)由題意得c=1,a=2,b=
3
x2
4
+
y2
3
=1
(4分)
(II)設(shè)P(x0,y0),A(-2,0),F(xiàn)1(-1,0)
PF1
PA
=(-1-x0)(-2-x0)+
y
2
0
=
1
4
x2+3x+5

由橢圓方程得-2≤x≤2,二次函數(shù)開口向上,對稱軸x=-6<-2
當(dāng)x=-2時,取最小值0,
當(dāng)x=2時,取最大值12
PF1
PA
的取值范圍是[0,12](9分)
(III)
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0

由△>0得4k2+3>m2
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
-8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2
,
AM
AN
=(
AH
+
HM
)•(
AH
+
HN
)=
AH
2
+
AH
HN
+
HM
AH
+
HM
HN
=0

∴(x1+2)(x2+2)+y1y2=0
即(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m2=0
∴4k2-16km+7m2=0k=
1
2
m或k=
7
2
m
均適合※(12分)
當(dāng)k=
1
2
m時,直線過A,舍去,故k=
7
2
m

當(dāng)k=
7
2
m時,直線y=kx+
2
7
k過定點(-
2
7
,0)
(13分)
點評:本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力.本題為中檔題,需要熟練運用設(shè)而不求韋達(dá)定理.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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