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設{an}是各項為正數的無窮數列，Ai是邊長為ai，ai+1的矩形的面積（i=1，2，…），則{An}為等比數列的充要條件是（ ）
A．{an}是等比數列
B．a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數列
C．a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列
D．a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相同
【答案】分析：根據題意可表示Ai，先看必要性，{An}為等比數列推斷出為常數，可推斷出a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相同；再看充分性，要使題設成立，需要為常數，即a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相等，答案可得．
解答：解：依題意可知Ai=ai•ai+1，
∴Ai+1=ai+1•ai+2，
若{An}為等比數列則==q（q為常數），則a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比均為q；
反之要想{An}為等比數列則=需為常數，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相等；
故{An}為等比數列的充要條件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相同．
故選D
點評：本題主要考查了等比數列的性質，充分條件，必要條件和充分必要條件的判定．考查了學生分析問題和基本的推理能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設{an}是各項均為正數的無窮項等差數列．（本題中必要時可使用公式：12+22+33+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
（Ⅰ）記Sn=a1+a2+…+an，Tn=a12+a22+…+an2，已知Sn≤n2+n-1，Tn≥
4n3-n
3
（n∈N*），試求此等差數列的首項a1及公差d；
（Ⅱ）若{an}的首項a1及公差d都是正整數，問在數列{an}中是否包含一個非常數列的無窮項等比數列{a′m}？若存在，請寫出{a′m}的構造過程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設集合W由滿足下列兩個條件的數列{an}構成：①
an+an+2
2
＜an+1；②存在實數M，使an≤M．（n為正整數）
（Ⅰ）在只有5項的有限數列{an}、{bn}中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1；試判斷數列{an}、{bn}是否為集合W中的元素；
（Ⅱ）設{cn}是各項為正數的等比數列，Sn是其前n項和，c3=
1
4
，S3=
7
4
，試證明{Sn}∈W，并寫出M的取值范圍；
（Ⅲ）設數列{dn}∈W，對于滿足條件的M的最小值M0，都有dn≠M0（n∈N*）．求證：數列{dn}單調遞增．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海二模）如果無窮數列{an}滿足下列條件：①
an+an+2
2
≤an+1；②存在實數M，使an≤M．其中n∈N*，那么我們稱數列{an}為Ω數列．
（1）設數列{bn}的通項為bn=5n-2n，且是Ω數列，求M的取值范圍；
（2）設{cn}是各項為正數的等比數列，Sn是其前項和，c3=
1
4
，S3=
7
4
證明：數列{Sn}是Ω數列；
（3）設數列{dn}是各項均為正整數的Ω數列，求證：dn≤dn+1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在xoy平面上有一系列點P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對每個正整數n，以點Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求證：數列{xn}是等比數列，并求數列{xn}的通項公式；
（2）設數列{an}的各項為正，且滿足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）對于（2）中的數列{an}，當n＞1時，求證：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設{an} 是各項均為正整數的等差數列，項數為奇數，公差不為0，且各項之和等于2010，則該數列的第8項a8 的值等于
134
134
．

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