Question

（2012•嘉定區(qū)三模）如圖，設(shè)A、B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B分別在第一、二象限．C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為等邊三角形．記以O(shè)x軸正半軸為始邊，射線(xiàn)OA為終邊的角為θ．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

5

，

4

5

），求

sin2θ+sin2θ

cos2θ+cos2θ

的值；
（2）設(shè)f（θ）=|BC|²，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義，求出sinθ，cosθ，再利用二倍角公式，即可得到結(jié)論；
（2）由題意，cos∠COB=cos（θ+60°），利用余弦定理，可得函數(shù)f（θ）的解析式，從而可求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵A的坐標(biāo)為（

3

5

，

4

5

），以O(shè)x軸正半軸為始邊，射線(xiàn)OA為終邊的角為θ
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinθ=

4

5

，cosθ=

3

5

，
∴

sin2θ+sin2θ

cos2θ+cos2θ

=

sin2θ+2sinθcosθ

cos2θ+2cos2θ-1

=

16 25 +2• 4 5 • 3 5

3• 9 25 -1

=20；
（2））∵△AOB為正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（θ+60°）
∴f（θ）=|BC|² =|OC|²+|OB|²-2|OC|•|OB|cos∠COB=2-2cos（θ+60°）
∵θ∈R，∴f（θ）∈[1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查余弦定理求邊長(zhǎng)的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．