(10分)設分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),用隨機變量表示方程
實根的個數(shù)(重根按一個計).
(Ⅰ)求方程有實根的概率;
(Ⅱ)求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程有實根的概率.
(Ⅰ)
(Ⅱ)


(Ⅲ)
本試題主要考查了古典概型概率的計算,以及分布列和數(shù)學期望的求解的綜合運用。
(1)中理解本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36,那么借助于使方程有實根△=b2-4c≥0,得到事件A發(fā)生的基本事件數(shù),得到概率值。
(2)利用ξ=0,1,2的可能取值,分別得到各個取值的概率值,然后寫出分布列和數(shù)學期望值
(3)分析在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根,這是一個條件概率,利用條件概率公式得到結論。
解:(I)由題意知,本題是一個等可能事件的概率,
試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36,
滿足條件的事件是使方程有實根,則△=b2-4c≥0,即.
下面針對于c的取值進行討論
當c=1時,b=2,3,4,5,6; 當c=2時,b=3,4,5,6;
當c=3時,b=4,5,6;       當c=4時,b=4,5,6;
當c=5時,b=5,6;          當c=6時,b=5,6,
目標事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19,
因此方程有實根的概率為
(II)由題意知用隨機變量ξ表示方程實根的個數(shù)得到
ξ=0,1,2   根據第一問做出的結果得到
,,
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學期望  
(III)在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根,
這是一個條件概率,
記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M,
“方程有實根”為事件N,
則,,    ∴
練習冊系列答案
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