Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1，過定點(diǎn)M（m，0）（m＞0）作斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，E是M點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，若直線AE和BE的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=0．

Answer 1

分析 由拋物線的準(zhǔn)線方程可得p=2，可得拋物線的方程，設(shè)直線l的方程為y=k（x-m），k≠0，聯(lián)立拋物線的方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合點(diǎn)滿足拋物線的方程，即可得到所求和．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1，
可得p=2，即有拋物線的方程為y²=4x．
直線l的方程為y=k（x-m），k≠0，
聯(lián)立拋物線的方程，消去x，可得：
ky²-4y-4km=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4m，
又E是M點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，即有E（-m，0），
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+m}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}+4m}$+$\frac{4{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}+4m}$
=4•$\frac{{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+4m（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（4m+{{y}_{1}}^{2}）（4m+{{y}_{2}}^{2}）}$=4•$\frac{-4m•\frac{4}{k}+4m•\frac{4}{k}}{（4m+{{y}_{1}}^{2}）（4m+{{y}_{2}}^{2}）}$=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，直線的斜率公式，注意點(diǎn)滿足拋物線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．