【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:時,;
(Ⅱ)當(dāng)時,計論函數(shù)的極值點個數(shù).
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)詳見解析
【解析】
(Ⅰ)求出,令,求出,從而判斷的單調(diào)性,由即可判斷的正負情況,從而求得在遞減,遞增;當(dāng)時,成立,命題得證。
(Ⅱ)對的范圍分類討論,由的單調(diào)性求得,把看作變量,求得的單調(diào)性,從而得到(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),再對的范圍分類討論的單調(diào)性,從而判斷的單調(diào)性,從而求得極值點個數(shù)。
(Ⅰ)由,易知,設(shè),則,當(dāng)時,,又
∴時,,時,,即在遞減,遞增;所以當(dāng)時,得證.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng)在處取得極小值,無極大值,故此時極值點個數(shù)為1;
當(dāng)時,易知在遞減,遞增,所以,又設(shè),其中,則對恒成立,所以單調(diào)遞減,(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),所以當(dāng)時,即在單調(diào)遞增,故此時極值點個數(shù)為0;
當(dāng)時,,在遞增,又,所以當(dāng)時,
當(dāng)時,即總在處取得極小值;又當(dāng)且時,,所以存在唯一使得,且當(dāng)時,當(dāng)時,則在處取得極大值;故此時極值點個數(shù)為2;
綜上,當(dāng)時,的極值點個數(shù)為0;當(dāng)時,的極值點個數(shù)為2;當(dāng)時的極值點個數(shù)為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù), ). 以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)是曲線上的一個動點,當(dāng)時,求點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上所有的點均在直線的右下方,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出以下四個說法:
①殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小
②在刻畫回歸模型的擬合效果時,相關(guān)指數(shù)的值越大,說明擬合的效果越好;
③在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個單位時,預(yù)報變量平均增加個單位;
④對分類變量與,若它們的隨機變量的觀測值越小,則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大.
其中正確的說法是
A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線交于不同的兩點、,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司的甲、乙兩名工程師因為工作需要,各自選購一臺筆記本電腦.該公司提供了三款筆記本電腦作為備選,這三款筆記本電腦在某電商平臺的銷量和用戶評分如下表所示:
型號 | |||
銷量(臺) | 2000 | 2000 | 4000 |
用戶評分 | 8 | 6.5 | 9.5 |
若甲選購某款筆記本電腦的概率與對應(yīng)的銷量成正比,乙選購某款筆記本電腦的概率與對應(yīng)的用戶評分減去5的值成正比,且他們兩人選購筆記本電腦互不影響.
(1)求甲、乙兩人選購不同款筆記本電腦的概率;
(2)若公司給購買這三款筆記本電腦的員工一定的補貼,補貼標(biāo)準如下表:
型號 | |||
補貼(千元) | 3 | 4 | 5 |
記甲、乙兩人獲得的公司補貼之和為千元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達圖,則下面敘述不正確的是( )
A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)
C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年世界海洋日暨全國海洋宣傳日主場活動在海南三亞舉行,此次活動主題為“珍惜海洋資源保護海洋生物多樣性”,旨在進一步提高公眾對節(jié)約利用海洋資源、保護海洋生物多樣性的認識,為保護藍色家園做出貢獻.聯(lián)合國于第63屆聯(lián)合國大會上將每年的6月8日確定為“世界海洋日”,為了響應(yīng)世界海洋日的活動,2019年12月北京某高校行政主管部門從該大學(xué)隨機抽取部分大學(xué)生進行一次海洋知識測試,并根據(jù)被測驗學(xué)生的成績(得分都在區(qū)間內(nèi))繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求被測驗大學(xué)生得分的中位數(shù)(保留到整數(shù));
(2)若學(xué)生的得分成績不低于80分的認為是“成績優(yōu)秀”,現(xiàn)在從認為“成績優(yōu)秀”的學(xué)生中根據(jù)原有分組按照分層抽樣的方法抽取10人進行獎勵,最后再從這10人中隨機選取3人作為優(yōu)秀代表發(fā)言.
①求所抽取的3人不屬于同一組的概率;
②記這3人中,為測試成績在內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】離心率的橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上.過點的斜率為的直線與橢圓交于點、,且滿足.
(1)固定,當(dāng)的面積取得最大值時,求橢圓的方程;
(2)若變化,且,試問:實數(shù)和分別為何值時,橢圓的長軸長取得最大值?并求出此時橢圓的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com