Question

20．2016年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計(jì)顯示，微信注冊(cè)用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億．微信用戶平均年齡只有26歲，97.7%的用戶在50歲以下，86.2%的用戶在18-36歲之間．為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從北京市大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

微信群數(shù)量	頻數(shù)	頻率
0至5個(gè)	0	0
6至10個(gè)	30	0.3
11至15個(gè)	30	0.3
16至20個(gè)	a	c
20個(gè)以上	5	b
合計(jì)	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若從這100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率；
（Ⅲ）以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布列的性質(zhì)及$頻率=\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出a，b，c的值．
（Ⅱ）記“2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)”為事件A，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率．
（Ⅲ）依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為$P=\frac{2}{5}$．X的所有可能取值0，1，2，3，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，
解得a=35，
∴$b=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$，$c=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$．…（3分）
（Ⅱ）記“2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)”為事件A，
則$P（A）=\frac{{C_{40}^1C_{60}^1}}{{C_{100}^2}}=\frac{16}{33}$．
所以，2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為$\frac{16}{33}$．　…（7分）
（Ⅲ）依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為$P=\frac{2}{5}$．
X的所有可能取值0，1，2，3．…（8分）
則$P（{X=0}）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}{（1-\frac{2}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
$P（{X=1}）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}{（1-\frac{2}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，
$P（{X=2}）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^2}{（1-\frac{2}{5}）^1}=\frac{36}{125}$，
$P（{X=3}）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}{（1-\frac{2}{5}）^0}=\frac{8}{125}$．
其分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

所以，$EX=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．