Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=

3

，EF=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

分析：（Ⅰ）過點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，證明AE平行平面DCF內(nèi)的直線DG，即可證明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，說明∠AHB為二面角A-EF-C的平面角，通過二面角A-EF-C的大小為60°，求出AB即可．

解答：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形，
所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG．
因?yàn)锳E?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．

（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF，
所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．
在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°，F(xiàn)G=1．
又因?yàn)镃E⊥EF，所以CF=4，
從而BE=CG=3．
于是BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

．
因?yàn)锳B=BH•tan∠AHB，
所以當(dāng)AB=

9

2

時(shí)，二面角A-EF-G的大小為60°．
【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何．
【點(diǎn)評】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺陷，那就是空間向量的運(yùn)算問題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用．

點(diǎn)評：本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．