Question

11．已知函數f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x-2，x∈R，求：
（1）函數f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（2）函數f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，確定出周期及增區(qū)間即可；
（2）由x的范圍確定出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數的單調性確定出所求值域即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{3（1+cos2x）}{2}$-2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
則f（x）的最小正周期為π，f（x）的遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，得到-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
則f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 此題考查了三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．