設(shè)拋物線y2=4ax(a>0)的焦點(diǎn)為A,以B(a+4,0)為圓心,|AB|為半徑,在x軸上方畫半圓,設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).
(1)求|AM|+|AN|的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差數(shù)列?若存在,求出a,若不存在,說明理由.
【答案】分析:先設(shè)M、N、P在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M′,N′,P′,根據(jù)拋物線的定義可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a,然后聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,進(jìn)而可得到兩根之和,即可得到|AM|+|AN|的值.
(2)先假設(shè)存在a滿足條件,根據(jù)2|AP|=|AM|+|AN|,再由∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|,|AP|=|PP′|,故可得到點(diǎn)P必在拋物線上,但與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾,可得到結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)M、N、P在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M′,N′,P′,由拋物線定義得:|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a,又圓的方程為[x-(a+4)]2+y2=16,將y2=4ax代入得:x2-2(4-a)•x+a2+8a=0,∴xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.
(2)假設(shè)存在這樣的a,使得:2|AP|=|AM|+|AN|,
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|,
∴|AP|=|PP′|.
由定義知點(diǎn)P必在拋物線上,這與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾,
所以這樣的a不存在.
點(diǎn)評:本題主要考查拋物線的基本性質(zhì).考查綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力.
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16、設(shè)拋物線y2=4ax(a>0)的焦點(diǎn)為A,以B(a+4,0)為圓心,|AB|為半徑,在x軸上方畫半圓,設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).
(1)求|AM|+|AN|的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差數(shù)列?若存在,求出a,若不存在,說明理由.

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已知拋物線y2=4ax(0<a<1=的焦點(diǎn)為F,以A(a+4,0)為圓心,|AF|為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M和N,設(shè)P為線段MN的中點(diǎn).
(1)求|MF|+|NF|的值;
(2)是否存在這樣的a值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差數(shù)列?如存在,求出a的值,若不存在,說明理由.

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已知拋物線y2=4ax(0<a<1)的焦點(diǎn)為F,以A(a+4,0)為圓心,|AF|為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M和N,設(shè)P為線段MN的中點(diǎn),

(Ⅰ)求|MF|+|NF|的值;

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設(shè)拋物線y2=4ax(a>0)的焦點(diǎn)為A,以B(a+4,0)為圓心,|AB|為半徑,在x軸上方畫半圓,設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).
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