Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項的和記為S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求S_n的最小值及其相應的n的值；
（Ⅲ）從數(shù)列{a_n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，a2n-1，…，構(gòu)成一個新的數(shù)列{b_n}，求{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首項與公差，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）得到數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-20，可由

an≤0 an+1≥0

求得n取何值時S_n取得最小值，然后由求和公式可求得答案；
（Ⅲ）根據(jù)題意求得bn=a2n-1=-18+(2n-1-1)×2=2n-20，利用分組求和法可求得數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）設公差為d，由題意，可得

a4=-12 a8=-4

?

a1+3d=-12 a1+7d=-4

，解得

d=2 a1=-18

，
∴a_n=2n-20…（3分）
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-20得：
當n≤9時，a_n＜0，
當n=10時，a_n=0，
當n≥11時，a_n＞0．
∴當n=9或n=10時，S_n取得最小值，又S_n=

[-18+(2n-20)]•n

2

=（n-19）•n
∴S₉=S₁₀=-90…（6分）
（Ⅲ）記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，由題意可知bn=a2n-1=-18+(2n-1-1)×2=2n-20，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹-20）+（2²-20）+（2³-20）+…+（2ⁿ-20）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-20n=

2-2n+1

1-2

-20n
=2ⁿ⁺¹-20n-2…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式，及數(shù)列求和公式，本題解答中的亮點在于利用等差數(shù)列的通項公式分析S_n的最值，顯然比利用其求和公式，通過二次函數(shù)的配方法求最值方便的多．