19.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x),?x∈R,都有f(x)+f(-x)=x2,在x>0時(shí),f′(x)<x,若f(4-m)-f(m)≥8-4m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( 。
A.[-2,2]B.[2,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

分析 構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x2,由g(-x)+g(x)=0,可得函數(shù)g(x)為奇函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g(x)在R上是減函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

解答 解:令g(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$x2
∵g(-x)+g(x)=f(-x)-$\frac{1}{2}$x2+f(x)-$\frac{1}{2}$x2=0,
∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù).
∵x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)=f′(x)-x<0,
故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),故函數(shù)g(x)在(-∞,0)上也是減函數(shù),
由f(0)=0,可得g(x)在R上是減函數(shù),
∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+$\frac{1}{2}$(4-m)2-g(m)-$\frac{1}{2}$m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,
∴g(4-m)≥g(m),
∴4-m≤m,解得:m≥2,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍[2,+∞),
故選B.

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,$\frac{sinA}{sinC}=\frac{asinB}{a-bcosC}$.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若△ABC邊AC上的高h(yuǎn)=b,求$\frac{sinB}{tanA}+\frac{sinB}{tanC}$的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“牛頓調(diào)和三角形”,它們是整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為$\frac{1}{n}$(n≥2),每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$,…,則第6行第3個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為$\frac{1}{60}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.若角α=600°的終邊上有一點(diǎn)(a,-2),則a的值是( 。
A.$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$C.$±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$D.$2\sqrt{3}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.(1)已知f(α)=$\frac{{sin(π-α)cos(π-α)cos(\frac{3π}{2}+α)}}{{cos(\frac{π}{2}+α)sin(π+α)}}$,若α為第二象限角,且$cos(α-\frac{π}{2})=\frac{2}{5}$,求f(α)的值;
(2)已知tanα=3,求2sin2α+sinαcosα-cos2α的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知f(x)=x3-2x,過點(diǎn)(1,m)(m≠2)可作曲線y=f(x)的三條切線,則m的取值范圍為(-2,-1).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.計(jì)算:$\frac{i-2\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}i}$+(3+i17)-${(\frac{1+i}{\sqrt{2}})}^{20}$=4+2i.

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8.已知向量$\overrightarrow{a}$=(1,3),$\overrightarrow$=(-2,0),$\overrightarrow{c}$=(3,2),若向量$\overrightarrow{c}$與向量k$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$垂直,則實(shí)數(shù)k=$\frac{2}{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知函數(shù)f(x)=x•lnx,g(x)=2mx-1(m∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)若$?x∈[{\frac{1}{e},e}]$,f(x)>g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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