Question

13．設(shè)橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{8-{a^2}}}$=1（a＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓E的焦距為4．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓外一點(diǎn)M（m，0）（m＞a）作傾斜角為$\frac{5π}{6}$的直線(xiàn)l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若橢圓E的右焦點(diǎn)F在以弦CD為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的性質(zhì)a²＞4，a²-（8-a²）=4即可求得a²=6，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程，代入橢圓方程，由$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}＜0$，根據(jù)韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{8-{a^2}}}=1（a＞0）$，的焦點(diǎn)在x軸上，a²=b²+c²，
∴a²＞8-a²，即a²＞4，
又∵a²-（8-a²）=4
∴a²=6，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�(xiàn)l的傾斜角為$\frac{5π}{6}$，則直線(xiàn)l的斜率$k=tan\frac{5π}{6}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∴直線(xiàn)l的方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-m）（m＞\sqrt{6}）$，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-m）\\{x^2}+3{y^2}=6\end{array}\right.$，消去y得2x²-2mx+m²-6=0，
∴x₁+x₂=m，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-6}}{2}$，
且△=（-2m）²-8（m²-6）＞0，即m²＜12，
∵橢圓的右焦點(diǎn)F在以弦CD為直徑的圓的內(nèi)部，
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}＜0$，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
∴$4{x_1}{x_2}-（m+6）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+12＜0$，
∴$4×\frac{{{m^2}-6}}{2}-（m+6）×m+{m^2}+12＜0$，
即m²-3m＜0，則0＜m＜3，
又$m＞\sqrt{6}$，m²＜12，
∴$m∈（\sqrt{6}，3）$．
實(shí)數(shù)m的取值范圍（$\sqrt{6}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．