Question

16．橢圓$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$的離心率$e∈（\frac{1}{2}，1）$，則m的取值范圍是$m＞\frac{4}{3}$或$0＜m＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 當m＞1時，a²=m．b²=1，c²=m-1，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{m-1}{m}∈（\frac{1}{4}，1）$，
當0＜m＜1時，a²=1．b²=m，c²=1-m，e²=$\frac{1-m}{1}$∈（$\frac{1}{4}，1$）．

解答 解：當m＞1時，a²=m．b²=1，c²=m-1，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{m-1}{m}∈（\frac{1}{4}，1）$，⇒m＞$\frac{4}{3}$；
當0＜m＜1時，a²=1．b²=m，c²=1-m，e²=$\frac{1-m}{1}$∈（$\frac{1}{4}，1$）⇒0＜m＜$\frac{3}{4}$．
故答案為：0＜m＜$\frac{3}{4}$或m＞$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的方程中a²=b²+c²的關(guān)系，及離心率的計算，屬于基礎(chǔ)題．