Question

9．中心在原點(diǎn)的橢圓C₁與雙曲線C₂具有相同的焦點(diǎn)，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P為C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，|PF₁|=|F₁F₂|且|PF₂|=5，若橢圓C₁的離心率${e_1}∈（{\frac{3}{5}，\frac{2}{3}}）$，則雙曲線的離心率e₂的范圍是（　　）

• A． $（{\frac{3}{2}，\frac{5}{3}}）$
• B． $（{\frac{5}{3}，2}）$
• C． （2，3）
• D． $（{\frac{3}{2}，3}）$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）（a＞b＞0），其離心率e₁，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），離心率為e₂，由e₁=$\frac{c}{a}$∈（$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{3}$），e₂=$\frac{c}{m}$，由△PF₁F₂是以PF₂為底邊的等腰三角形，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義可求得m=2c-a，從而可求得答案．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
其離心率為e₁，
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），其離心率為e₂，
|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，
△PF₁F₂是以PF₂為底邊的等腰三角形，
∴在橢圓中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2a-2c，①
同理，在該雙曲線中，|PF₂|=2c-2m；②
由①②可得m=2c-a．
∵e₁=$\frac{c}{a}$∈（$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{3}{2}$＜$\frac{1}{{e}_{1}}$＜$\frac{5}{3}$，
又e₂=$\frac{c}{m}$=$\frac{c}{2c-a}$=$\frac{{e}_{1}}{2{e}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{e}_{1}}}$∈（2，3）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：離心率的范圍，考查等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想與運(yùn)算能力，考查倒數(shù)關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．