Question

【題目】已知數(shù)列中，，，.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；

（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點列在某一直線上.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），，成等差數(shù)列；（3）詳見解析.

【解析】

試題（1）證明一個數(shù)列為等比或等差數(shù)列，一般都是從定義入手，本小題首先需要將已知條件變形為，由于，則（常數(shù)），然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，即（）；

（2）本小題首先假設(shè)在數(shù)列中存在連續(xù)三項，，（，）成等差數(shù)列，則，代入通項公式可得，即，，成等差數(shù)列.

（3）本小題首先根據(jù)，，成等差數(shù)列，則，于是可得，然后通過不定方程的分類討論可得結(jié)論

試題解析：（1）將已知條件變形為

由于，則（常數(shù)）

即數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列

所以，即（）

（2）假設(shè)在數(shù)列中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，

不妨設(shè)連續(xù)的三項依次為，，（，），

由題意得，，

將，，代入上式得

化簡得，，即，得，解得

所以，存在滿足條件的連續(xù)三項為，，成等差數(shù)列

（3）若，，成等差數(shù)列，則

即，變形得11分

由于若，且，下面對、進(jìn)行討論：

① 若，均為偶數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；

② 若為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，解得；

③ 若為偶數(shù)，為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；

④ 若，均為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；

綜上①②③④可知，只有當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，，成等差數(shù)列，此時滿足條

件點列落在直線（其中為正奇數(shù)）上