【題目】如圖,在直五棱柱,中,,,,,,.
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)先由題意可得且,從而有平面,即有,再結(jié)合即可證明平面;
(2) 以為原點,以的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系,然后寫出相關(guān)點的坐標,求出相關(guān)平面的法向量,代入數(shù)量積求夾角公式即可.
(1)證明:因為五棱柱為直五棱柱,
所以,
又,且,
所以平面.
因為平面,所以.
因為,,,
所以平面.
(2)解:因為,所以是以為直角頂點的等腰直角三角形,
又,,,,
所以,且兩兩垂直.
以為原點,以的方向為軸,軸,軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,,,,,
,,,.
設(shè)平面的法向量為,
則
令,得平面的一個法向量為.
設(shè)平面的法向量為,
則
令,得平面的一個法向量為.
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,
則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)(cosθ+1)cos2x+cosθ(cosx+1),有下述四個結(jié)論:①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在(,)上單調(diào)遞減;③當θ∈[,]時,有|f(x)|;④當θ∈[,]時,有|f'(x)|;其中所有真命題的編號是( )
A.①③B.②④C.①③④D.①④
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【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前n項和,是正項等比數(shù)列,且,.在①,②,③這三個條件中任選一個,回答下列為題:
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)如果(m,),寫出m,n的關(guān)系式,并求.
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【題目】有一個同學家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲飲料銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的散點圖和對比表:
攝氏溫度 | ||||||||
熱飲杯數(shù) |
(1)從散點圖可以發(fā)現(xiàn),各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里。因此,氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關(guān),即氣溫越高,當天賣出去的熱飲杯數(shù)越少。統(tǒng)計中常用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱.統(tǒng)計學認為,對于變量、,如果,那么負相關(guān)很強;如果,那么正相關(guān)很強;如果,那么相關(guān)性一般;如果,那么相關(guān)性較弱。請根據(jù)已知數(shù)據(jù),判斷氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)相關(guān)性的強弱.
(2)(i)請根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的線性回歸方程;
(ii)記為不超過的最大整數(shù),如,.對于(i)中求出的線性回歸方程,將視為氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的函數(shù)關(guān)系.已知氣溫與當天熱飲每杯的銷售利潤的關(guān)系是 (單位:元),請問當氣溫為多少時,當天的熱飲銷售利潤總額最大?
(參考公式),,
(參考數(shù)據(jù)),, .
,,,.
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【題目】已知函數(shù).
當時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
若,且對任意,,,都有,求實數(shù)a的最小值.
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【題目】已知圓:,點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線交線段于點.
(1)求點的軌跡方程.
(2)設(shè)點,是的軌跡上異于頂點的任意兩點,以為直徑的圓過點.求證直線過定點,并求出該定點的坐標.
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【題目】環(huán)保部門要對所有的新車模型進行廣泛測試,以確定它的行車里程的等級,右表是對 100 輛新車模型在一個耗油單位內(nèi)行車里程(單位:公里)的測試結(jié)果.
(Ⅰ)做出上述測試結(jié)果的頻率分布直方圖,并指出其中位數(shù)落在哪一組;
(Ⅱ)用分層抽樣的方法從行車里程在區(qū)間[38,40)與[40,42)的新車模型中任取5輛,并從這5輛中隨機抽取2輛,求其中恰有一個新車模型行車里程在[40,42)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】影響消費水平的原因很多,其中重要的一項是工資收入.研究這兩個變量的關(guān)系的一個方法是通過隨機抽樣的方法,在一定范圍內(nèi)收集被調(diào)查者的工資收入和他們的消費狀況.下面的數(shù)據(jù)是某機構(gòu)收集的某一年內(nèi)上海、江蘇、浙江、安徽、福建五個地區(qū)的職工平均工資與城鎮(zhèn)居民消費水平(單位:萬元).
地區(qū) | 上海 | 江蘇 | 浙江 | 安徽 | 福建 |
職工平均工資 | 9.8 | 6.9 | 6.4 | 6.2 | 5.6 |
城鎮(zhèn)居民消費水平 | 6.6 | 4.6 | 4.4 | 3.9 | 3.8 |
(1)利用江蘇、浙江、安徽三個地區(qū)的職工平均工資和他們的消費水平,求出線性回歸方程,其中,;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1萬,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問所得的線性回歸方程是否可靠?(的結(jié)果保留兩位小數(shù))
(參考數(shù)據(jù):,)
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