Question

【題目】已知遞增數(shù)列{an}，a1=2，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足 =n，求其前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2），

可得3（Sn﹣1+Sn﹣2）=an﹣12+2（n≥3）．

兩式相減可得3（an+an﹣1）=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），

由遞增數(shù)列{an}，a1=2，

可得an﹣an﹣1=3，（n≥3）．

由3（a1+a2+a1）=a22+2，3（a1+a2+a3+a1+a2）=a32+2，

求得a2=5，a3=8，

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=8+3（n﹣3）=3n﹣1，

上式對(duì)n=1，2也成立，

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n﹣1；

（2）解：數(shù)列{bn}滿足 =n，

可得bn=（3n﹣1）2n，

前n項(xiàng)和Tn=22+522+823+…+（3n﹣1）2n，

2Tn=222+523+824+…+（3n﹣1）2n+1，

兩式相減可得，﹣Tn=4+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣1）2n+1

=4+3 ﹣（3n﹣1）2n+1，

化簡(jiǎn)可得Tn=（3n﹣4）2n+1+8

【解析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 結(jié)合條件和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得到所求；（2）求出bn=（3n﹣1）2n ， 運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．